自分の場合はそうならないですが、ポイ探で「Myポイ探」を更新するとログアウトします。

更新しないでおくと1週間以上もログインしたままです。(他のPCでログインして、再び自分のPCに戻ってみてもログアウトしません。)

ちゃんと有効なセキュリティーソフトを使っていますか?
パソコンに最初から入っているものは30日程度でゴミですよ。
ECナビのcookieは通常ログアウトしなければかなりの期間有効になっているはずです。
ポイ探でポイント情報を読み出すなど別のアドレスからアクセスがあると自動的に以前の情報を破棄します。
ログインの成功失敗は問いません。

そんなに頻繁にログアウトするというのであればセキュリティーソフトがECナビのcookieをbotと判断して削除しているか、広い意味でウイルスに汚染されているかのどちらかでしょう。
前者はほぼあり得ないので後者だと思いますが。

セキュリティーソフト会社のサイトで無料でウイルススキャンできますから今すぐに試してみることをお勧めします。
その際アドレスバーとステータスバーを良く注意してみて下さい。
https://〜で始まっているか、南京錠のアイコンが閉じているかなどです。
ウイルスの中にはセキュリティー会社のサイトへのアクセスを偽装して更にウイルスを送り込むものもあります。

毎回ブラウザを閉じているならブラウザの設定で終了時にcookieを削除するように設定されているのかも知れませんよ。
セキュリティ的にはとても良いことなのですが毎回ログインするのは面倒と言えば面倒ですね。

あなたがInternet Explorer7を使っているならばIE7Proを言うソフトを検索してみるといいでしょう。
IE7のアドオンソフトでフォームの自動入力という機能があります。
ログイン画面でIDとパスワードを入力してこのソフトでフォームの保存と自動入力の設定をすればログイン画面が表示されるごとにIDとパスワードを勝手に入力してくれますのでボタンを押せばログイン完了です。
ほかにも色々便利な機能があるので使い方などを解説しているところをよく読んでみて下さい。
日本語で表示は出来ますが元々英語版のソフトなので。

あと上にもありますけど、ウイルススキャンは忘れずに。

せっかくなんでECナビのログイン状態がどれくらい保持されるのか調べてみました。
結果から言うと初めてログインしてから二年間ですね。
これは使用しているパソコンの中だけで有効な期間です。

で、一度ログインしたのにすぐにログアウトしてしまうのはこのログイン情報(これをcookieと言います)がECナビが持っている情報とあわないためです。
一般的な利用法でこのようなことが起こることは通常あり得ません。
考えられる理由はいくつもありますが、誰かから譲ってもらったパソコンをそのまま使っているのでなければ一つだけです。
先に書いたようにウイルスに汚染されていてウイルス(キーロガーと言います)を仕掛けた相手がECナビにあなたのIDとパスワードでログインしているってことです。

ECナビはそのままではポイントを現金化できませんがあなたがPeXに登録していなければ先にウイルスを仕掛けたもののPeX情報とあなたのECナビ情報とを紐付けしてポイントを交換してしまうかも知れません。
Gポイントへの交換を停止したところで出た被害と同じですね。
対処法はウイルスを除去してからECナビにログインして自分の情報の確認とパスワードの変更です。

それはセキュリティ上、1台のPCでしかログインさせない、という一般的な手法をECナビが使っているだけだと思います。

以下はあくまでその手法の1つです。

サーバー側では、ユーザーがIDとパスワードでログインした際にその日時を、クッキーとサーバー側の双方に記録します。
次にアクセスがあった際に、その日時をクッキーとサーバー側で同一かどうか調べ、ずれていればそのクッキーは無効として、ログインさせることにします。

こうすることで、接続状態を保持できるPCは事実上1台のみになり、複数PCでの同時アクセスを禁じ、不正なアクセスを未然に防ぐことが出来ます。

必ずしも日時で管理しているわけではないと思いますが、おおむね上記のような手法を使って不正利用を防いでいるわけで、決して無意味なことをしているわけ絵ではないと思います。

自宅と会社、といった2台以上のPCでアクセスしている方には不便かもしれませんが、逆にどちらでも常にログイン状態が保持されているサービスは、その分危険だと思った方が良いと思いますよ。