> どちらが正しいのでしょうか。

当然ですが、ANAが正しいです。ANAのマイルはANAが付与するのだからANAが公表していることがまず大前提となります。

所詮ユーザーのブログはあくまでもユーザーのブログでしかなく、たとえ大嘘であろうが自由に書けます。
また、その内容に対して責任を取る必要がない以上、全面的に信用することは危険です。

たとえばANAのページに書かれていないようなレアケースでどうなるのか、といった情報については
いったん信用して試してみるなどの行動をとることは有用だと思いますが、ANAのサイトに公式に書いてある
内容を直接疑うのは時間の無駄の場合が多いです。

つまり、
> ANAのHPのQ&Aにも「公共料金をはじめとする支払伝票(バーコード付)のEdy支払いは、Edyマイルの対象とは
> なりません。」となっています。
を前提として、
「コンビニ決済で支払伝票で支払ったときに使ったEdy使用の時のEdyマイルがついていた」のであれば驚きですが、
「ついていなかった」のですから、単に「なるほど」や「やっぱりね」ということなのです。

で、読み返してみて上記の書き込みだけでは言葉足らずだったことに気づいたので追記

で、ブログ記事の擁護も一席。

> いろんなサイトを見ると、クレカからEdyにチャージするときとEdyを使うとき両方ともマイルが付くと
> 見かけますが、先ほどANAのマイル獲得履歴を見ると、普通の買い物では即時にマイルが付いているのに、
> 前にコンビ二決済したときに使ったEdy使用の時の分は付いていません。

普通の買い物ではEdyマイルが付いているのですから、あなたがご覧になった記事は原則として真実が書かれているといえます。
ただ「例外」について書かれていない(書かれていない以上嘘が書かれているわけではありません)だけです。

たとえば
「楽天カードで買い物をし、ANAカードでチャージを行い、楽天カードの支払いをコンビニでチャージした
Edyで行った結果、楽天カードに楽天スーパーポイントが、ANAカードにポイントがつきました」なら
Edyマイルについて言及していませんので嘘はありません。わかりますでしょうか。

ブログに書いてある内容は不足がある可能性がありますが、かといって拡大解釈を行うのは問題があります。

ブログは日記形式である以上書かれた時点で真実であっても現在は真実ではないことも多々あります。
誠実なブロガーの皆さんは真実でなくなった時点で訂正記事を書き込まれたり、記事を訂正したりなさいます。
お互い、真実を見抜く目を持って情報を収集しましょう。